Simone已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= ，且60°< <120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=12
的有关信息介绍如下：
（1）∠APC ． （2）证明：∵CA=CP， ∴∠1=∠2= ． ∴∠3=∠BAC－∠1= = ． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB= = ． ∴∠4=∠ACB－∠5= = ． ∴∠3=∠4．即∠BAP=∠PCB． （3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）． ∵PC=AC，AB=AC，∴PC=AB．在△ABP和△CPM中， AB=CP，∠3=∠4， AP=CM，∴△ABP≌△CPM． ∴∠6=∠7， BP=PM． ∴∠8=∠9． ∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4，∴∠ABC－∠8=∠9－∠4．即（ ）－∠8=∠9－（ ）． ∴ ∠8＋∠9= ． ∴2∠8= ． ∴∠8= ．即∠PBC= ． 解法二：作点P关于BC的对称点N，连接PN、AN、BN和CN（如图7）． 则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称．∴△PBC≌△NBC．∴BP=BN，CP=CN，∠4=∠6= ，∠7=∠8．∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6= = ．∵PC=AC， ∴AC=NC． ∴△CAN为等边三角形． ∴AN=AC，∠NAC= ． ∵AB=AC，∴AN=AB．∵∠PAN=∠PAC－∠NAC=（ ）－ = ，∴∠PAN=∠3．在△ABP和△ANP中， AB=AN，∠3=∠PAN， AP=AP，∴△ABP≌△ANP． ∴PB=PN． ∴△PBN为等边三角形． ∴∠PBN= ． ∴∠7= ∠PBN = ．即∠PBC= ． 此题主要考查三角形内角和定理及等腰三角形的性质的综合运用，综合性较强。
